Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 13a+5b+12c-9=0
Chứng minh rằng
\(\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\le1\)1
cho a,b,c là các số thức dương thỏa mãn 13a+5b+12c-9=0
chứng minh rằng : \(\dfrac{ab}{2a+b}+\dfrac{3bc}{2b+c}+\dfrac{6ca}{2c+a}\le1\)
1/Cho a,b,c≥0 và \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Tìm GTLN của
M=\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ba}\)
2/Cho a,b,c>0 thỏa mãn 13a+5b+12c=9. Tìm GTLN của
N=\(\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\)
3/Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của
P=\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\)
4/Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ab+7bc+ca=188.
Tìm GTNN của P=\(5a^2+11b^2+5c^2\)
Ai giải được câu nào giải hộ mình vs ạ!!!
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2b^2}{a^7+a^2b^2+b^7}+\frac{b^2c^2}{b^7+b^2c^2+c^7}+\frac{c^2a^2}{c^7+c^2a^2+a^7}\le1\)
Trước hết ta chứng minh các bđt : \(a^7+b^7\ge a^2b^2\left(a^3+b^3\right)\left(1\right)\)
Thật vậy:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\)(luôn đúng)
Lại có : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)
mà \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)(luôn đúng)
Áp dụng các bđt trên vào bài toán ta có
∑\(\frac{a^2b^2}{a^7+a^2b^2+b^7}\le\)∑\(\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b+c\right)}\le\)∑\(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Em xem lại dòng thứ 4 và giải thích lại giúp cô với! ko đúng hoặc bị nhầm
chứng minh bđt "Lại có" ạ
1/Cho a,b,c≥0 và \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Tìm GTLN của
M=\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ba}\)
2/Cho a,b,c>0 thỏa mãn 13a+5b+12c=9. Tìm GTLN của
N=\(\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\)
3/Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của
P=\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\)
4/Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ab+7bc+ca=188.
Tìm GTNN của P=\(5a^2+11b^2+5c^2\)
Ai giải được câu nào giải hộ mình vs ạ!!!
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq \frac{1}{7}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
Ta có: \(2a+b^2=2a\left(a+b+c\right)+b^2=b^2+2a^2+2ab+2ac\)
\(\ge4ab+2ac+a^2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2a+b^2}\le\frac{a}{4ab+2ac+a^2}=\frac{1}{4b+2c+a}\)
\(\le\frac{1}{49}.\frac{49}{4b+2c+a}=\frac{1}{49}.\frac{\left(4+2+1\right)^2}{4b+2c+a}\)
\(\le\frac{1}{49}\left(\frac{16}{4b}+\frac{4}{2c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{49}\left(\frac{4}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
CMTT: \(\frac{b}{2b+c^2}\le\frac{1}{49}\left(\frac{4}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right);\frac{c}{2c+a^2}\le\frac{1}{49}\left(\frac{4}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2a+b^2}+\frac{b}{2b+c^2}+\frac{c}{2c+a^2}\le\frac{1}{7}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm )
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 2. CMR:
\(\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ca}}\le1\)
\(VT=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b+c\right)c+ab}}=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\sum\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}+\frac{bc+ca}{a+b}\right]=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương sao cho ab+bc+ac=3abc. C/m rằng: \(\frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}\le1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3abc
Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Ta có : \(\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2}=\frac{a^4}{a^3b^2c^2}+\frac{b^4}{b^3c^2a^2}+\frac{c^4}{c^3a^2b^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel và giả thiết a2 + b2 + c2 = 3abc ta có :
\(\frac{a^4}{a^3b^2c^2}+\frac{b^4}{b^3c^2a^2}+\frac{c^4}{c^3a^2b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(3abc\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\)
Ta có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ab+b+1}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{bc+c+1}\) và \(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ca+a+1}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
A=\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\)+\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\)+\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
ta có: \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\)=\(\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\)\(\le\)\(\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
vì : a2+b2\(\ge\)2\(\sqrt{a^2b^2}\)=2ab
b2+1\(\ge\)2\(\sqrt{b^2x1}\)=2b
cmtt => A\(\le\)\(\frac{1}{2}\)x(\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{1}{bc+c+1}\)+\(\frac{1}{ca+a+1}\))
=\(\frac{1}{2}\)x(\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}\)+\(\frac{b}{cba+ab+b}\))
=\(\frac{1}{2}\)x (\(\frac{1}{ab+b+1}\)+\(\frac{ab}{ab+b+1}\)+\(\frac{b}{ab+b+1}\))=\(\frac{1}{2}\)x\(\frac{ab+b+1}{ab+b+1}\)=\(\frac{1}{2}\)
dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
+ 1a2+2b2+3=1(a2+b2)+(b2+1)+2≤12(ab+b+1)1a2+2b2+3=1(a2+b2)+(b2+1)+2≤12(ab+b+1) . Dấu "=" ⇔a=b=1⇔a=b=1
+ Tương tự : 1b2+2c2+3≤12(bc+c+1)1b2+2c2+3≤12(bc+c+1). Dấu "=" ⇔b=c=1⇔b=c=1
1c2+2a2+3≤12(ca+a+1)1c2+2a2+3≤12(ca+a+1). Dấu "=" c=a=1c=a=1
Do đó : VT≤12(1ab+b+1+1bc+c+1+1ca+a+1)=12(1ab+b+1+ababc⋅b+abc+ab+babc+ab+b)VT≤12(1ab+b+1+1bc+c+1+1ca+a+1)=12(1ab+b+1+ababc⋅b+abc+ab+babc+ab+b)
=12(1ab+b+1+abab+b+1+bab+b+1)=12=12(1ab+b+1+abab+b+1+bab+b+1)=12
Dấu "=" ⇔a=b=c=1